مقدمه:
در دنیای مهندسی، سازه‌ها و قطعات مختلف تحت بارگذاری‌های پیچیده‌ای قرار می‌گیرند. این بارگذاری‌ها باعث ایجاد تنش در داخل مواد می‌شوند. تحلیل و بررسی این تنش‌ها برای اطمینان از ایمنی و عملکرد صحیح سازه‌ها ضروری است. در مقاومت مصالح 1، با مفاهیم اولیه‌ی تنش و کرنش آشنا شدیم و نحوه‌ی محاسبه‌ی آن‌ها را در حالات ساده مانند کشش، فشار و برش مستقیم آموختیم. اما در بسیاری از مسائل مهندسی، با حالاتی روبرو می‌شویم که تنش‌ها در یک نقطه از جسم در جهات مختلف، مقادیر متفاوتی دارند. به عنوان مثال، در یک تیر تحت خمش، تنش‌های کششی و فشاری در یک نقطه، بسته به فاصله‌ی آن نقطه از تار خنثی، متفاوت هستند.
در مقاومت مصالح 2، به بررسی دقیق‌تر و جامع‌تر تنش‌ها می‌پردازیم. یکی از مهم‌ترین مباحث در این زمینه، تبدیل تنش صفحه‌ای است. این مفهوم به ما کمک می‌کند تا تنش‌ها را در یک نقطه از جسم، در جهات مختلف، به یکدیگر مرتبط کنیم و بتوانیم مقادیر تنش‌ها را در هر جهت دلخواه محاسبه کنیم.
این مقاله به عنوان یک راهنمای جامع و کاربردی، به بررسی دقیق و کامل مفهوم تبدیل تنش صفحه‌ای می‌پردازد. هدف ما این است که با زبانی ساده و قابل فهم، این مبحث مهم را برای دانشجویان مقاومت مصالح 2 و سایر علاقه‌مندان به این حوزه، به طور کامل تشریح کنیم.
چرا تبدیل تنش صفحه‌ای مهم است؟
تصور کنید یک قطعه فلزی تحت بارگذاری پیچیده‌ای قرار دارد. در یک نقطه خاص از این قطعه، تنش‌های کششی و برشی در دو جهت عمود بر هم، مشخص هستند. سوال اینجاست: آیا این اطلاعات برای اطمینان از ایمنی قطعه کافی است؟ پاسخ منفی است.
دلیل این امر این است که ممکن است در جهات دیگری، تنش‌های بزرگتری وجود داشته باشند که در محاسبات اولیه در نظر گرفته نشده‌اند. برای مثال، ممکن است تنش برشی ماکزیمم در یک صفحه با زاویه‌ی خاص نسبت به صفحات اولیه رخ دهد. اگر این تنش برشی ماکزیمم از مقاومت برشی ماده بیشتر باشد، قطعه دچار شکست خواهد شد، حتی اگر تنش‌های کششی و برشی در صفحات اولیه در محدوده‌ی مجاز باشند.
تبدیل تنش صفحه‌ای به ما این امکان را می‌دهد که:
تنش‌های اصلی (Principal Stresses) و جهت آن‌ها را پیدا کنیم: تنش‌های اصلی، ماکزیمم و مینیمم تنش‌های عمودی در یک نقطه هستند. جهت آن‌ها نیز صفحاتی هستند که در آن‌ها تنش برشی صفر است.
تنش برشی ماکزیمم و جهت آن را پیدا کنیم: تنش برشی ماکزیمم، بزرگترین تنش برشی است که در یک نقطه رخ می‌دهد. جهت آن نیز صفحاتی هستند که در آن‌ها تنش برشی ماکزیمم است.
تنش‌ها را در هر جهت دلخواه محاسبه کنیم: با داشتن تنش‌ها در دو جهت عمود بر هم، می‌توانیم تنش‌ها را در هر جهت دیگری با استفاده از معادلات تبدیل تنش محاسبه کنیم.
معیارهای شکست را اعمال کنیم: با داشتن تنش‌های اصلی و تنش برشی ماکزیمم، می‌توانیم معیارهای شکست مختلف را اعمال کنیم و از ایمنی سازه اطمینان حاصل کنیم.
تعریف تنش صفحه‌ای:
تنش صفحه‌ای (Plane Stress) یک حالت تنش است که در آن، تنش‌ها در یک صفحه (به عنوان مثال، صفحه‌ی xy) قابل توجه هستند، در حالی که تنش‌ها در جهت عمود بر این صفحه (جهت z) و تنش‌های برشی مرتبط با این جهت، ناچیز فرض می‌شوند.
به عبارت دیگر، در حالت تنش صفحه‌ای، فرض می‌کنیم که تنش‌های σz، τxz و τyz برابر با صفر هستند. این فرض معمولاً در مواردی که ضخامت قطعه در مقایسه با ابعاد دیگر آن بسیار کوچک باشد، معتبر است. به عنوان مثال، یک ورق فلزی نازک که تحت بارگذاری در صفحه‌ی خود قرار دارد، می‌تواند به عنوان یک حالت تنش صفحه‌ای در نظر گرفته شود.
معادلات تبدیل تنش صفحه‌ای:
فرض کنید در یک نقطه از جسم، تنش‌های σx، σy و τxy در یک سیستم مختصات xy مشخص هستند. می‌خواهیم تنش‌های σx'، σy' و τx'y' را در یک سیستم مختصات x'y' که با زاویه‌ی θ نسبت به سیستم مختصات xy چرخیده است، محاسبه کنیم.
معادلات تبدیل تنش صفحه‌ای به صورت زیر هستند:
σx' = (σx + σy)/2 + (σx - σy)/2 * cos(2θ) + τxy * sin(2θ)
σy' = (σx + σy)/2 - (σx - σy)/2 * cos(2θ) - τxy * sin(2θ)
τx'y' = - (σx - σy)/2 * sin(2θ) + τxy * cos(2θ)
در این معادلات:
σx و σy تنش‌های عمودی در جهت x و y هستند.
τxy تنش برشی در صفحه xy است.
σx' و σy' تنش‌های عمودی در جهت x' و y' هستند.
τx'y' تنش برشی در صفحه x'y' است.
θ زاویه‌ی بین سیستم مختصات xy و x'y' است (زاویه مثبت در جهت پادساعتگرد است).
تنش‌های اصلی و جهت آن‌ها:
تنش‌های اصلی (σ1 و σ2) ماکزیمم و مینیمم تنش‌های عمودی در یک نقطه هستند. آن‌ها در صفحاتی رخ می‌دهند که در آن‌ها تنش برشی صفر است. این صفحات به عنوان صفحات اصلی (Principal Planes) شناخته می‌شوند.
برای پیدا کردن تنش‌های اصلی و جهت آن‌ها، ابتدا باید زاویه‌ی θp (زاویه‌ی صفحات اصلی) را پیدا کنیم. زاویه‌ی θp از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:
tan(2θp) = 2τxy / (σx - σy)
این معادله دو جواب دارد که با 90 درجه اختلاف دارند. این دو جواب، دو صفحه‌ی اصلی را نشان می‌دهند که در آن‌ها تنش برشی صفر است.
پس از پیدا کردن زاویه‌ی θp، می‌توانیم تنش‌های اصلی را با استفاده از معادلات زیر محاسبه کنیم:
σ1 = (σx + σy)/2 + √[((σx - σy)/2)^2 + τxy^2]
σ2 = (σx + σy)/2 - √[((σx - σy)/2)^2 + τxy^2]
σ1 تنش اصلی بزرگتر (ماکزیمم تنش عمودی) و σ2 تنش اصلی کوچکتر (مینیمم تنش عمودی) است.
تنش برشی ماکزیمم و جهت آن:
تنش برشی ماکزیمم (τmax) بزرگترین تنش برشی است که در یک نقطه رخ می‌دهد. برای پیدا کردن تنش برشی ماکزیمم و جهت آن، ابتدا باید زاویه‌ی θs (زاویه‌ی صفحه‌ی ماکزیمم تنش برشی) را پیدا کنیم. زاویه‌ی θs از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:
tan(2θs) = - (σx - σy) / 2τxy
این معادله نیز دو جواب دارد که با 90 درجه اختلاف دارند. این دو جواب، دو صفحه‌ای را نشان می‌دهند که در آن‌ها تنش برشی ماکزیمم است.
توجه داشته باشید که زاویه‌ی θs با زاویه‌ی θp، 45 درجه اختلاف دارد. به عبارت دیگر، صفحات ماکزیمم تنش برشی، با صفحات اصلی، 45 درجه زاویه دارند.
پس از پیدا کردن زاویه‌ی θs، می‌توانیم تنش برشی ماکزیمم را با استفاده از معادله‌ی زیر محاسبه کنیم:
τmax = √[((σx - σy)/2)^2 + τxy^2]
همچنین، تنش‌های عمودی در صفحه‌ی ماکزیمم تنش برشی، برابر با میانگین تنش‌های عمودی در سیستم مختصات xy هستند:
σavg = (σx + σy)/2
دایره‌ی مور:
دایره‌ی مور (Mohr's Circle) یک روش گرافیکی برای نمایش تبدیل تنش صفحه‌ای است. این دایره به ما کمک می‌کند تا به راحتی تنش‌های اصلی، تنش برشی ماکزیمم و تنش‌ها را در هر جهت دلخواه، پیدا کنیم.
برای رسم دایره‌ی مور، مراحل زیر را دنبال کنید:
محورهای مختصات را رسم کنید: محور افقی را به عنوان محور تنش عمودی (σ) و محور عمودی را به عنوان محور تنش برشی (τ) در نظر بگیرید.
نقاط مربوط به تنش‌ها را روی دایره مشخص کنید: نقطه‌ی A را با مختصات (σx, τxy) و نقطه‌ی B را با مختصات (σy, -τxy) روی محورهای مختصات مشخص کنید.
مرکز دایره را پیدا کنید: مرکز دایره (C) در وسط پاره‌خط AB قرار دارد و مختصات آن برابر با ((σx + σy)/2, 0) است.
دایره را رسم کنید: دایره‌ای به مرکز C و شعاع R = √[((σx - σy)/2)^2 + τxy^2] رسم کنید.
پس از رسم دایره‌ی مور، می‌توانیم اطلاعات زیر را از آن استخراج کنیم:
تنش‌های اصلی: نقاطی که دایره محور افقی را قطع می‌کند، تنش‌های اصلی (σ1 و σ2) را نشان می‌دهند.
تنش برشی ماکزیمم: بالاترین و پایین‌ترین نقاط دایره، تنش برشی ماکزیمم (τmax) را نشان می‌دهند.
تنش‌ها در هر جهت دلخواه: برای پیدا کردن تنش‌ها در یک جهت خاص، کافی است از مرکز دایره به اندازه‌ی دو برابر زاویه‌ی مورد نظر (2θ) در جهت پادساعتگرد بچرخیم. نقطه‌ی حاصل، تنش‌های σx' و τx'y' را در آن جهت نشان می‌دهد.
معیارهای شکست:
معیارهای شکست، شرایطی را بیان می‌کنند که در آن‌ها یک ماده تحت بارگذاری مشخص، دچار شکست می‌شود. این معیارها معمولاً بر اساس تنش‌های اصلی و تنش برشی ماکزیمم تعریف می‌شوند.
برخی از معیارهای شکست رایج عبارتند از:
معیار ماکزیمم تنش اصلی (Maximum Principal Stress Theory): بر اساس این معیار، شکست زمانی رخ می‌دهد که ماکزیمم تنش اصلی (σ1) از مقاومت کششی ماده (σt) بیشتر شود.
معیار ماکزیمم تنش برشی (Maximum Shear Stress Theory): بر اساس این معیار، شکست زمانی رخ می‌دهد که ماکزیمم تنش برشی (τmax) از نصف مقاومت تسلیم ماده (σy/2) بیشتر شود.
معیار انرژی کرنشی اعوجاجی (Distortion Energy Theory): این معیار که به عنوان معیار Von Mises نیز شناخته می‌شود، بر اساس انرژی کرنشی اعوجاجی در ماده تعریف می‌شود. بر اساس این معیار، شکست زمانی رخ می‌دهد که انرژی کرنشی اعوجاجی از یک مقدار بحرانی بیشتر شود.
کاربردهای تبدیل تنش صفحه‌ای:
تبدیل تنش صفحه‌ای در بسیاری از مسائل مهندسی کاربرد دارد. برخی از این کاربردها عبارتند از:
تحلیل تنش در سازه‌ها: تبدیل تنش صفحه‌ای برای تحلیل تنش در تیرها، ستون‌ها، پوسته‌ها و سایر اجزای سازه‌ای استفاده می‌شود.
طراحی قطعات ماشین‌آلات: تبدیل تنش صفحه‌ای برای طراحی قطعات ماشین‌آلات مانند شفت‌ها، چرخ‌دنده‌ها و بلبرینگ‌ها استفاده می‌شود.
تحلیل تنش در مواد مرکب: تبدیل تنش صفحه‌ای برای تحلیل تنش در مواد مرکب مانند کامپوزیت‌ها استفاده می‌شود.
تحلیل تنش در زمین‌شناسی: تبدیل تنش صفحه‌ای برای تحلیل تنش در سنگ‌ها و خاک‌ها استفاده می‌شود.
مثال:
فرض کنید در یک نقطه از یک قطعه فلزی، تنش‌های زیر مشخص هستند:
σx = 100 MPa
σy = 50 MPa
τxy = 25 MPa
می‌خواهیم تنش‌های اصلی، جهت آن‌ها و تنش برشی ماکزیمم را پیدا کنیم.
حل:
زاویه‌ی صفحات اصلی را پیدا می‌کنیم:
tan(2θp) = 2τxy / (σx - σy) = 2 * 25 / (100 - 50) = 1
2θp = arctan(1) = 45°
θp = 22.5°
بنابراین، زاویه‌ی یکی از صفحات اصلی، 22.5 درجه است. زاویه‌ی صفحه‌ی اصلی دیگر، 22.5 + 90 = 112.5 درجه است.
تنش‌های اصلی را محاسبه می‌کنیم:
σ1 = (σx + σy)/2 + √[((σx - σy)/2)^2 + τxy^2] = (100 + 50)/2 + √[((100 - 50)/2)^2 + 25^2] = 75 + √(625 + 625) = 75 + √1250 ≈ 75 + 35.36 ≈ 110.36 MPa
σ2 = (σx + σy)/2 - √[((σx - σy)/2)^2 + τxy^2] = (100 + 50)/2 - √[((100 - 50)/2)^2 + 25^2] = 75 - √(625 + 625) = 75 - √1250 ≈ 75 - 35.36 ≈ 39.64 MPa
بنابراین، تنش اصلی بزرگتر (σ1) برابر با 110.36 MPa و تنش اصلی کوچکتر (σ2) برابر با 39.64 MPa است.
تنش برشی ماکزیمم را محاسبه می‌کنیم:
τmax = √[((σx - σy)/2)^2 + τxy^2] = √[((100 - 50)/2)^2 + 25^2] = √1250 ≈ 35.36 MPa
بنابراین، تنش برشی ماکزیمم برابر با 35.36 MPa است.
نتیجه‌گیری:
تبدیل تنش صفحه‌ای یک مفهوم اساسی در مقاومت مصالح 2 است که به ما کمک می‌کند تا تنش‌ها را در یک نقطه از جسم، در جهات مختلف، به یکدیگر مرتبط کنیم و بتوانیم مقادیر تنش‌ها را در هر جهت دلخواه محاسبه کنیم. این مفهوم در تحلیل تنش در سازه‌ها، طراحی قطعات ماشین‌آلات و بسیاری از مسائل مهندسی دیگر کاربرد دارد.
در این مقاله، به بررسی دقیق و کامل مفهوم تبدیل تنش صفحه‌ای پرداختیم. معادلات تبدیل تنش، نحوه‌ی پیدا کردن تنش‌های اصلی و جهت آن‌ها، نحوه‌ی پیدا کردن تنش برشی ماکزیمم و جهت آن، دایره‌ی مور و معیارهای شکست را به طور کامل تشریح کردیم. امیدواریم این مقاله به شما در درک بهتر این مبحث مهم کمک کرده باشد.
منابع:
سایت آکادمی نیک درس
کلمات کلیدی:
تبدیل تنش صفحه‌ای، تنش اصلی، تنش برشی ماکزیمم، دایره‌ی مور، مقاومت مصالح 2، تحلیل تنش، معیار شکست، تنش عمودی، تنش برشی، زاویه‌ی صفحه اصلی، زاویه‌ی ماکزیمم تنش برشی، معادلات تبدیل تنش.